Построить функцию у 2х 3. Линейная функция и ее график

• Какую функцию называют линейной?
• Что является графиком линейной функции?
• Какую функцию называют прямой пропорциональностью?
• В каком случае графики двух линейных функций являются параллельными прямыми?
• В каком случае графики двух линейных функций пересекаются?

• На каком рисунке у графика линейной функции положительный угловой коэффициент? Ответ обоснуйте.
• На каком рисунке изображен график прямой пропорциональности? Ответ обоснуйте.
• На каком рисунке у графика линейной функции отрицательный угловой коэффициент? Ответ обоснуйте.
• График какой функции мы не изучали? Ответ обоснуйте.

2. Кто быстрее запишет?

• За минуту составьте самое длинное слово, связанное с темой нашего урока, из данных букв

У, Т, Я, П, И, М, А, Р, К, Ф,Г,Ц, Н,Я,Ч,О

3. Найди на рисунке ошибку.

4. Найди правильный ответ.

• Под каким номером изображен график функции, заданной формулой
• у = О,5х + 3
• у = - 4
• у = 0,5х -3
• х = - 4

• Найдите значение у, соответствующее х=-14, если линейная функция задана формулой у=0,5х+5.

• Линейная функция задана формулой у=-4х+7. Найдите значение х, при котором у=-13.
• А. 1,5 В. –5 С. 5 Д. -1,5

• Необходимо построить графики функций и выделить ту ее часть, для точек которого выполняется соответствующее неравенство

• у = х + 6, 4 ≤ х ≤ 6;
• у = -х + 6, -6 ≤ х ≤-4;
• у = - 1/3 х + 10, -6 ≤ х ≤ -3;
• у = 1/3 х +10, 3 ≤ х ≤ 6;
• у = -х + 14, 0 ≤ х ≤ 3;
• у = х + 14, -3 ≤ х ≤ 0;
• у = 9х – 18, 2 ≤ х ≤ 4;
• у = - 9х – 18 -4 ≤ х ≤ -2;
• у = 0, -2 ≤ х ≤ 2.

• Культура тюльпанов возникла в Турции.

• Легенда о тюльпане.
• В золотистом бутоне желтого тюльпана было заключено счастье.
• До этого счастья никто не мог добраться, ибо не было такой силы, которая смогла бы открыть его бутон.

• Но однажды по лугу шла женщина с ребенком.
• Мальчик вырвался из рук матери, со звонким смехом подбежал к цветку, и золотистый бутон раскрылся.
• Беззаботный детский смех совершил то, чего не смогла сделать никакая сила.
• С тех пор и повелось дарить тюльпаны только тем, кто испытывает счастье.

• Творческое задание на дом:
• нарисовать рисунок
• с помощью прямых

>>Математика: Линейная функция и ее график

Линейная функция и ее график

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, который мы сформулировали в § 28, при всей его четкости и определенности математикам не очень нравится. Обычно они выдвигают претензии к первым двум шагам алгоритма. Зачем, говорят они, дважды решать уравнение относительно переменной у: сначала ах1 + Ьу + с = О, затем ахг + Ьу + с = О? Не лучше ли сразу выразить у из уравнения ах + by + с = 0, тогда легче будет проводить вычисления (и, главное, быстрее)? Давайте проверим. Рассмотрим сначала уравнение 3x - 2у + 6 = 0 (см. пример 2 из § 28).

Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. Например, при х = 0 получаем у = 3; при х = -2 имеем у = 0; при х = 2 имеем у = 6; при х = 4 получаем: у = 9.

Видите, как легко и быстро найдены точки (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), которые были выделены в примере 2 из § 28.

Точно так же уравнение Ьх - 2у = 0 (см. пример 4 из § 28) можно было преобразовать к виду 2у =16 -3x . далее у = 2,5x; нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), удовлетворяющие этому уравнению.

Наконец, уравнение 3x + 2у - 16 = 0 из того же примера можно преобразовать к виду 2y = 16 -3x и далее нетрудно найти точки (0; 0) и (2; 5), которые ему удовлетворяют.

Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.

Таким образом, линейное уравнение (1) с двумя переменными х и у всегда можно преобразовать к виду
y = kx + m,(2) где k,m - числа (коэффициенты), причем .

Этот частный вид линейного уравнения будем называть линейной функцией.

С помощью равенства (2) легко, указав конкретное значение х, вычислить соответствующее значение у. Пусть, например,

у = 2х + 3. Тогда:
если х = 0, то у = 3;
если х = 1, то у = 5;
если х = -1, то у = 1;
если х = 3, то у = 9 и т. д.

Обычно эти результаты оформляют в виде таблицы :

Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у = 2х + 3, соответственно, в точках х = 0, х = 1, х = -1,х=-3.

В уравнении (1) переменные хну равноправны, а в уравнении (2) - нет: конкретные значения мы придаем одной из них - переменной х, тогда как значение переменной у зависит от выбранного значения переменной х. Поэтому обычно говорят, что х - независимая переменная (или аргумент), у - зависимая переменная.

Обратите внимание: линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. Графиком уравнения у - kx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая - ее называют также графком линейной функции y = kx + тп. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3.

Решение. Составим таблицу:

Во второй ситуации независимая переменная х, обозначающая, как и в первой ситуации, число дней, может принимать только значения 1, 2, 3, ..., 16. Действительно, если х = 16, то по формуле у = 500 - З0x находим: у = 500 - 30 16 = 20. Значит, уже на 17-й день вывезти со склада 30 т угля не удастся, поскольку на складе к этому дню останется всего 20 т и процесс вывоза угля придется прекратить. Следовательно, уточненная математическая модель второй ситуации выглядит так:

у = 500 - ЗОд:, где х = 1, 2, 3, .... 16.

В третьей ситуации независимая переменная х теоретически может принять любое неотрицательное значение (напр., значение х = 0, значение х = 2, значение х = 3,5 и т. д.), но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, нам нужно было сделать разумные ограничения на х, скажем, 0 < х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Напомним, что геометрической моделью нестрогого двойного неравенства 0 < х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Условимся вместо фразы «х принадлежит множеству X» писать (читают: «элемент х принадлежит множеству X», е - знак принадлежности). Как видите, наше знакомство с математическим языком постоянно продолжается.

Если линейную функцию у = kx + m надо рассматривать не при всех значениях х, а лишь для значений х из некоторого числового промежутка X, то пишут:

Пример 2. Построить график линейной функции:

Решение, а) Составим таблицу для линейной функции y = 2x + 1

Построим на координатной плоскости хОу точки (-3; 7) и (2; -3) и проведем через них прямую линию. Это - график уравнения у = -2x: + 1. Далее, выделим отрезок, соединяющий построенные точки (рис. 38). Этот отрезок и есть график линейной функции у = -2х+1, гдехе [-3, 2].

Обычно говорят так: мы построили график линейной функции у = - 2х + 1 на отрезке [- 3, 2].

б) Чем отличается этот пример от предыдущего? Линейная функция та же (у = -2х + 1), значит, и ее графиком служит та же прямая. Но - будьте внимательны! - на этот раз х е (-3, 2), т. е. значения х = -3 и х = 2 не рассматриваются, они не принадлежат интервалу (- 3, 2). Как мы отмечали концы интервала на координатной прямой? Светлыми кружочками (рис. 39), об этом мы говорили в § 26. Точно так же и точки (- 3; 7) и B; - 3) придется отметить на чертеже светлыми кружочками. Это будет напоминать нам о том, что берутся лишь те точки прямой у = - 2х + 1, которые лежат между точками, отмеченными кружочками (рис. 40). Впрочем, иногда в таких случаях используют не светлые кружочки, а стрелки (рис. 41). Это непринципиально, главное, понимать, о чем идет речь.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции на отрезке .
Решение. Составим таблицу для линейной функции

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 4) и (6; 7) и проведем через них прямую - график линейной х функции (рис. 42).

Нам нужно рассмотреть эту линейную функцию не целиком, а на отрезке , т. е. для х е .

Соответствующий отрезок графика выделен на чертеже. Замечаем, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 - это и есть наибольшее значение линейной функции на отрезке . Обычно используют такую запись: у наиб =7.

Отмечаем, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке 42 части прямой, равна 4 - это и есть наименьшее значение линейной функции на отрезке .
Обычно используют такую запись: y наим. = 4.

Пример 4. Найти у наиб и y наим. для линейной функции y = -1,5x + 3,5

а) на отрезке ; б) на интервале (1,5);
в) на полуинтервале .

Решение. Составим таблицу для линейной функции у = -l,5x + 3,5:

Построим на координатной плоскости хОу точки (1; 2) и (5; - 4) и проведем через них прямую (рис. 43-47). Выделим на построенной прямой часть, соответствующую значениям х из отрезка (рис. 43), из интервала A, 5) (рис. 44), из полуинтервала (рис. 47).

а) С помощью рисунка 43 нетрудно сделать вывод, что у наиб = 2 (этого значения линейная функция достигает при х = 1), а у наим. = - 4 (этого значения линейная функция достигает при х = 5).

б) Используя рисунок 44, делаем вывод: ни наибольшего, ни наименьшего значений на заданном интервале у данной линейной функции нет. Почему? Дело в том, что, в отличие от предыдущего случая, оба конца отрезка, в которых как раз и достигались наибольшее и наименьшее значения, из рассмотрения исключены.

в) С помощью рисунка 45 заключаем, что y наиб. = 2 (как и в первом случае), а наименьшего значения у линейной функции нет (как и во втором случае).

г) Используя рисунок 46, делаем вывод: у наиб = 3,5 (этого значения линейная функция достигает при х = 0), а у наим. не существует.

д) С помощью рисунка 47 делаем вывод: y наим = -1 (этого значения линейная функция достигает при х = 3), а у наиб., не существует.

Пример 5. Построить график линейной функции

у = 2х - 6. С помощью графика ответить на следующие вопросы:

а) при каком значении х будет у = 0?
б) при каких значениях х будет у > 0?
в) при каких значениях х будет у < 0?

Ре ш е ни е. Составим таблицу для линейной функции у = 2х- 6:

Через точки (0; - 6) и (3; 0) проведем прямую - график функции у = 2х - 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. График пересекает ось х в точке х = 3, это и есть точка с ординатой у = 0.
б) у > 0 при х > 3. В самом деле если х > 3, то прямая расположена выше оси ж, значит, ординаты соответствующих точек прямой положительны.

в) у < 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Обратите внимание, что в этом примере мы с помощью графика решили:

а) уравнение 2х - 6 = 0 (получили х = 3);
б) неравенство 2х - 6 > 0 (получили х > 3);
в) неравенство 2x - 6 < 0 (получили х < 3).

Замечание. В русском языке часто один и тот же объект называют по-разному, например: «дом», «здание», «сооружение», «коттедж», «особняк», «барак», «хибара», «избушка». В математическом языке ситуация примерно та же. Скажем, равенство с двумя переменными у = кх + m, где к, m - конкретные числа, можно назвать линейной функцией, можно назвать линейным уравнением с двумя переменными х и у (или с двумя неизвестными х и у), можно назвать формулой, можно назвать соотношением, связывающим х и у, можно, наконец, назвать зависимостью между х и у. Это неважно, главное, понимать, что во всех случаях речь идет о математической модели у = кх + m

.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, а. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время увеличиваются, мы как бы «поднимаемся в горку». В таких случаях математики употребляют термин возрастание и говорят так: если k>0, то линейная функция у = kx + m возрастает.

Рассмотрим график линейной функции, изображенный на рисунке 49, б. Если двигаться по этому графику слева направо, то ординаты точек графика все время уменьшаются, мы как бы «спускаемся с горки». В таких случаях математики употребляют термин убывание и говорят так: если k < О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Линейная функция в жизни

А теперь давайте подведем итог этой темы. Мы с вами уже познакомились с таким понятие, как линейная функция, знаем ее свойства и научились строить графики. Так же, вы рассматривали частные случаи линейной функции и узнали от чего зависит взаимное расположение графиков линейных функций. Но, оказывается, в нашей повседневной жизни мы также постоянно пересекаемся с этой математической моделью.

Давайте мы с вами подумаем, какие реальные жизненные ситуации связаны с таким понятием, как линейные функции? А также, между какими величинами или жизненными ситуациями, возможно, устанавливать линейную зависимость?

Многие из вас, наверное, не совсем представляют, зачем им нужно изучать линейные функции, ведь это вряд ли пригодится в дальнейшей жизни. Но здесь вы глубоко ошибаетесь, потому что с функциями мы сталкиваемся постоянно и повсюду. Так как, даже обычная ежемесячная квартплата также является функцией, которая зависит от многих переменных. А к этим переменным относится метраж площади, количество жильцов, тарифов, использование электроэнергии и т.д.

Конечно же, самыми распространенными примерами функций линейной зависимости, с которыми мы с вами сталкивались – это уроки математики.

Мы с вами решали задачи, где находили расстояния, которые проезжали машины, поезда или проходили пешеходы при определенной скорости движения. Это и есть линейные функции времени движения. Но ведь эти примеры применимы не только в математике, они присутствуют в нашей повседневной жизни.

Калорийности молочных продуктов зависит жирности, а такая зависимость, как правило, является линейной функцией. Так, например, при увеличении сметане процента жирности, увеличивается и калорийность продукта.

Теперь давайте сделаем подсчеты и найдем значения k и b, решив систему уравнений:

Теперь давайте выведем формулу зависимости:

В итоге мы получили линейную зависимость.

Чтобы знать скорость распространения звука в зависимости от температуры, возможно, узнать, применив формулу: v = 331 +0,6t, где v - скорость (в м/с), t - температура. Если мы начертим график этой зависимости, то увидим, что он будет линейным, то есть представлять прямую линию.

И таких практических использований знаний в применении линейной функциональной зависимости можно перечислять долго. Начиная от платы за телефон, длины и роста волос и даже пословиц в литературе. И этот список можно продолжать до бесконечности.

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

постройте график линейной функции у=2х-3

Ответы:

Берешь это в табличку: y| 1 | 3 | x| 2 | 3 | Если y = 1, то x = 2; если y = 3, то x = 3. Делала так: Подбирала любое значение y и находила значение x, как в любом уравнении. На примере первого: 1=2x-3; x=2. Во втором так же. Далее на координатной плоскости отмечаем точки с координаты и, полученными ранее. Например точка K (2;1) и точка L (3;3). Обратите внимание, что в ответе координаты точки А мы пишем именно в таком порядке, т.к. На первом месте значение х, а на втором у. Когда вы отметили точки, вы вполне можете провести через них прямую, сделайте это. И лучше провести ее через всю плоскость, а не от точки до точки. Удачи!

Похожие вопросы

• Движение тела описывается уравнение x=-80+2*t. Найти начальную координату, модуль и направление вектора скорости, координату и перемещение тела за 20 с, Постройте график x(t) и Vx(t)
• какой слог в слове cat
• отец купил три дыни. Масса первой дыни 5.25 кг что на 2.5 кг меньше массы второй и на 1.15 кг больше массы третьей дыни. Найдите массу каждой дыни. 6 класс
• какие вещества используют растения в процессе питания
• какие книги есть про солнце и звёзды и автор
• как решить уравнения 8(7x-3)=-48(3x+2)
• Какие вещества (смеси веществ) не имеют биогенного происхождения? природный газ,мрамор,слюда,горный хрусталь,нефть,торф
• Высота над землён подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=2 + 13t - 5 t^2, где h- высота в метрах, t-время в сек., прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находится на высоте не менее 10м?
• Из пункта А одновременно в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 12 км/ч, а скорость второго 10 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут через 2 часа? 7
• Исправьте ошибки в этих предложениях: 1.THERE IS two official languages in Britain 2.Buskingham Palace HAVE GOT more than 200 bedrooms 3. About 600 000 people CAN GOT SPEAK Welsh 4.The UK"S highest mountain ARE in Scorland 5. There"s 7.8 million people im London 6. England, Scotland and Wales HAS GOT national football teams

x,равному -2;-1;1 в)ЗНАЧЕНИЕ КОТОРОМУ СООТВЕТСТВУЕТ Y, равное 1;-2;7; г)выясните возрастает или убывает заданная линейная функция.постройте график линейной функции y=x+4.найдите a)координаты точек пересечения графика с осями координат б) значение y, соответствующее значению x,равному -2;-1;1 в)ЗНАЧЕНИЕ КОТОРОМУ СООТВЕТСТВУЕТ Y, равное 1;-2;7; г)выясните возрастает или убывает заданная линейная функция.

х=-постройте график линейной функции п. 1 и с его помощью найдите а) координаты точек пересечения графика с осями координат б) значения функции при х=-2;-1;2;В)2;-1;2;В)значения аргумента если у=-3;1;4

Принадлежит ли графику данного уравнения точка К?

2. а) Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными 2х + у – 1 = 0 к виду линейной функции и постройте ее график.

б) Найдите наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке [-1;2].

3. Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 – х и у = 2х.

4. а) Задайте прямую пропорциональность формулой, если известно, что ее график параллелен графику линейной функции у = 3х – 4.

5. При каком значении р решением уравнения 5х + ру – 3р = 0 является пара чисел (1;1) ?

а) значение фунуции при х=-2;1;1,5.
б)значение агрумента при у=-4;1;2.
в)наибольшее и наименшие значения функции на луче (- ;-2]
2.
а) задайте линейную функцию у=кх формулой, если известно.что ее график проходит через точку А(-4;-12)

С помощью графика найдите:
а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1; 2];
б) значения переменной x , при которых y =0, y меньше 0.
2. Найдите координаты точки пересечения прямых y = 3 -x и y =2x.
3. а) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения
-3x+ 2 y - 6 = 0 с осями координат;
б) Определите, принадлежит ли графику данного уравнения точк
К(1/3:,3,5)
4. а) Задайте линейную функцию y= kx формулой, если известно, что ее
график параллелен прямой - 3x +y - 4 = 0.
б) Определите, возрастает или убывает заданная функция. Ответ объясните.
_______________________________________________________________
5. При каком значении p решением уравнения 5x + py -3 p =0 является пара
чисел (1;1) ?

«Линейная перспектива» - Владимир Орловский «Летний день». 1884 г. Наука, помогающая правильно изображать предметы в пространстве называется перспектива. Альфред Сислей «Улица Севр в Лувесьенне». 1873 г. Линейная перспектива изучает правила изображения объектов при помощи линий. Иван Шишкин «Рожь». 1878 г. Профессор пейзажной живописи.

«Решение линейных неравенств» - Рассмотреть применение методики обучения решению линейных неравенств с одной переменной с использованием алгоритмизации. Изображение числовых промежутков Отметить точку? ? >< Отметить область > ? < ? 3.Выделить общую область(если нужно). Методика обучения решению линейных неравенств с одной переменной.

«Примеры линейных алгоритмов» - Начало. ПАМЯТЬ Ячейка a Ячейка S. Экран. Линейный алгоритм. Пример. Найти площадь поверхности куба со стороной a. Клавиатура. Команда N End. Алгоритмический язык. На языке Паскаль. Блок-схема (графическое представление). Задача. Линейный алгоритм (пример). Алгоритм, в котором команды выполняются последовательно одна за другой, называется линейным.

«Система линейных уравнений» - Что является решением линейного уравнения с двумя переменными? Задачи урока: Опишите с помощью системы уравнений ситуацию. С помощью какой из систем, можно решить следующую задачу. Девочек на 3 меньше, чем мальчиков. х + у = 36 х – у = 3. Зарядка для глаз. Определение линейного уравнения с двумя переменными.

«Линейная алгебра» - Итерационный процесс сходится к решению U СЛАУ со скоростью геометрической прогрессии при выполнении условия. Система с трехдиагональной матрицей. Модификация алгоритма Гаусса – метод ПРОГОНКИ (Thomas algorithm). Устойчивость Доказательство теоремы (продолжение). То относительная погрешность решения, полученного прямым методом, удовлетворяет оценке.