Что делает дифференциал. Что такое дифференциал в автомобиле и как он работает

Прежде чем приступить к рассмотрению дифференциалов, их типов и нюансах работы, сначала мы с вами обратимся к теории. Для чего вообще нужен дифференциал на современных автомобилях и какой принцип его работы?

Дифференциал, как говорит теория, это механическое устройство с особым видом планетарной зубчатой передачи, разделяющий момент входного вала (в нашем случае карданного вала) между выходными валами (полуосями) автомобиля, передающий, момент силы с карданного вала на задние полуоси в заднеприводном варианте или непосредственно от двигателя сразу на полуоси в переднеприводном автомобиле так (дифференциал в расположен в КПП), что угловые скорости вращения этих полуосей могут быть разными по отношению друг к другу и колеса автомобиля проходят разный путь (например в повороте). Опять же, все из теории, во время прохождения поворота колеса автомобиля проходят по различным траекториям, а именно, по внутренней и внешней, отсюда соответственно получается, что колесо вращающееся по внешнему радиусу проделывает (пробегает) больший путь чем то колесо, которое вращается по внутреннему радиусу, а значит, что и скорость такого вращения колес будет разная, т.е. скорость колеса вращающегося (пробегающего) по внутреннему радиусу должна быть меньше той скорости колеса, которое вращается по внешнему радиусу.

В этом как-раз непосредственно и заключается главная задача дифференциала, т.е. правильно распределять скорости вращения валов на выходе и соответственно самих колес.

Предназначение дифференциала автомобилей:

- позволяет ведущим колёсам вращаться с разными угловыми скоростями;

- неразрывно передаёт крутящий момент от двигателя на ведущие колёса.

Основная проблема, появившаяся на заре автомобильной эры, была решена с помощью применения дифференциала, теперь повороты машине можно проходить более безопасно и без пробуксовки колес, а отсюда соответственно и без чрезмерной нагрузки на трансмиссию, на шины и на сами подшипники колес. Но зато появилось другое неудобство.

Простейший дифференциал имеет одну яркую "особенность", благодаря которой он категорически не подходит для сложных, экстремальных дорожных ситуаций.

Когда у ведущих колес 100% сцепление с дорогой, то все будет идти хорошо и дифференциал будет исполнять свою функцию просто идеально, но стоит одному из колес попасть в ситуацию когда оно (шина) потеряет сцепление с дорогой, или попадет на другой тип грунта или на лед, то начнет вращаться именно то колесо, которое потеряло сцепление, а противоположенное стоящее на более цепком грунте просто останется неподвижным.

Не вдаваясь в сами нюансы работы механизма можно просто констатировать факт, что дифференциал не меняет свой крутящий момент, он просто перераспределяет мощность между колесами и такая мощность будет всегда больше на том именно колесе, которое вращается быстрее. При пробуксовке колеса сопротивление его и крутящего момента будет минимальным, а значит чрезвычайно малым будет и крутящий момент передающийся с самого двигателя непосредственно на колесо, а значит и на противоположенном колесе этот крутящий момент будет ему соответствовать, то есть он будет минимальным.

В этой связи инженеры и автопроизводители большинства автокомпаний начали искать новое решение с этой проблемой. Появилось большое количество (различных видов устройств) дифференциалов. Основные виды таковых нам и хотелось бы освятить в данной статье. А также нам хотелось бы рассказать своим читателям и об основных преимуществах и конкретных недостатках тех или иных видов этих устройств, и еще, на каких современных автомобилях можно сегодня встретить тот или иной тип дифференциалов.

Свободный дифференциал (Open Differential).

Суть его работы.

Разделяет крутящий момент двигателя на две оси, каждая из которых способна вращаться с различной скоростью.

Недостатки.

При потери сцепления колеса с дорогой крутящий момент на противоположном колесе тоже снижается (падает). В худшем варианте, у застрявшего автомобиля одно колесо будет свободно вращается, в то время, как противоположенное с лучшим сцеплением не сможет просто передать поверхности (дороге) достаточно крутящего момента, чтобы сдвинуть автомобиль с места.

Современные системы управления тягой компенсируют это, путем применения тормозов к потерявшему сцепление колесу. Но данный подход к проблеме помогает лишь отчасти, более сложный дифференциал, как правило действует быстрее и он более эффективен, чем тот же стандартный тип такого механизма.

Устанавливается на большинство автомобилей у которых "отсутствуют претензии" на нехватку большой мощности (они достаточно мощные), или у которых "отсутствуют амбиции" к любому бездорожью (внедорожники), а также на семейные седаны, и т.д.

Блокируемый дифференциал (Locking Differential).

Как он работает.

При заблокированном дифференциале колеса машины будут постоянно вращаться с равными скоростями. В песке, в грязи и на снегу заблокированный дифференциал гарантирует, что крутящий момент продолжит поступать на колеса с более высокой тягой.

Недостатки.

В незаблокированном виде данный механизм ведет себя точно также, как и свободный дифференциал. Блокировка дифференциала на поверхности с высоким уровнем сцепных свойств, как например, на том же сухом асфальте, затрудняет поворачиваемость автомобиля и может нанести серьезный вред автомобильной трансмиссии.

На каких автомобилях его можно обнаружить.

Wrangler, ; опционально его можно поставить на большинство полноразмерных джипов и пикапов.

Самоблокирующийся дифференциал (Limited-slip Differential). Дифференциал повышенного трения.

Как он работает.

Самоблокирующийся дифференциал совмещает в себе две концепции,- свободную и блокируемую системы дифференциалов. Он способен функционировать большую часть времени как обычный дифференциал, а в нужный момент автоматически блокироваться, т.е. в тот момент, когда происходит проскальзывание одного из колес. Блокировка достигается за счет вязкостной муфты, или фрикционной муфты, или за счет сложной системы гидророторного типа. В военных автомобилях ставятся зубчатые или кулачковые самоблокирующиеся дифференциалы.

Недостатки.

Чисто механические дифференциалы повышенного трения являются реактивными. То есть, они не блокируются пока не произошла пробуксовка колеса.

На каких автомобилях его можно обнаружить.

со Sport пакетом (с вискомуфтой), (clutch-type), (helical gears).

Самоблокирующийся дифференциал с электронным управлением (Electronically Controlled Limited-slip Differential).

Как он работает.

Преимущества такого электронного управления в том, что повышается тяга в повороте и степень блокировки дифференциала можно настроить.

Например, если компьютер автомобиля определяет, что в повороте у него (автомобиля) избыточная поворачиваемость, то он может сильнее заблокировать дифференциал для того чтобы стабилизировать автомобиль.

Среди особенностей свободного дифференциала - способность во время пробуксовки одного колеса (ведущей оси) передавать крутящий момент на другое колесо. Создание блокировки дифференциала было вызвано необходимостью увеличить крутящий момент на том колесе оси, у которого сцепление с дорогой лучше.

Блокировка дифференциала осуществляется следующим образом:

1. Корпус дифференциала соединяется с одной из полуосей;
2. Вращение сателлитов ограничивается.

Блокировка дифференциала зависит от степени и может быть как полной так и частичной.

Что такое полная блокировка?

Полной блокировкой дифференциала называют - жесткое соединение частей дифференциала, во время которого происходит полная передача крутящего момента на то колесо, у которого наилучшее сцепление.

Что такое частичная блокировка дифференциала?

Под частичной блокировкой дифференциала подразумевается - ограниченная величина передаваемого усилия среди частей дифференциала и повышение крутящего момента на том колесе, которое имеет лучшее сцепление.

Повышение крутящего момента на свободном колесе называется коэффициентом блокировки. То есть, он отображает соотношение между крутящим моментом на не нагруженном и колесом, которое забегает, то есть пробуксовывает. Коэффициент блокировки у симметричного свободного дифференциала будет равен - 1, поскольку у каждого из колес будет одинаковым. В то время как на заблокированном дифференциале это значение может варьироваться в диапазоне от 3 до 5. Любое дальнейшее увеличение данного коэффициента блокировки крайне нежелательно, поскольку он может стать причиной выхода из строя трансмиссии или некоторых ее деталей.

Используют блокировку дифференциала как межколесные так и межосевые дифференциалы. Чтобы не снижать управляемость, блокировка переднего межколесного дифференциала у полноприводных автомобилях не делается.

Включение блокировки дифференциала может быть принудительным или полностью автоматическим. В случае с принудительной, водитель сам выбирает когда включить блокировку дифференциала, иногда ее еще называют ручной.

Что касается автоматической блокировки, то ее включение осуществляется посредством специальных технических устройств – так называемых самоблокирующихся дифференциалов.

Ручная блокировка дифференциала

Ручная или принудительная блокировка осуществляется, как правило, при помощи кулачковой муфты, которая обеспечивает жесткую сцепку корпуса дифференциала с одной из полуосей.

Замыкание или (размыкание) кулачковой муфты происходит при помощи привода, он может быть: электрическим, механическим, пневматическим или гидравлическим.

Принцип работы механического привода заключается в объединении рычага и тросов, или целой системы рычагов. Такая система позволяет осуществить блокировку дифференциала в ручном режиме на полностью неподвижном автомобиле.

Гидравлический привод блокировки дифференциала состоит из нескольких цилиндров: главного и рабочего. Роль исполнительного элемента пневмопривода выполняет пневмокамера.

В случае с электроприводом муфта замыкается при помощи электрического двигателя. Приведение в действие осуществляется посредством нажатия (активации) отвечающей за эту функцию кнопки, чаще всего расположенной на панели приборов.

Применяется жесткая принудительная блокировка на труднопроходимых участках дороги. Она используется в межколесных, а также межосевых дифференциалах автомобилей с полным приводом.

Самоблокирующийся дифференциал

Дифференциал повышенного трения или самоблокирующийся дифференциал Limited Slip Differential, LSD) можно считать неким компромиссом между полной блокировкой дифференциала и свободным дифференциалом. Это объясняется возможностью реализации функции одного или другого при возникновении такой необходимости.

Существуют два типа самоблокирующихся дифференциалов:

1. Дифференциалы, которые блокируются руководствуясь разными угловыми скоростями колес.
2. Дифференциалы, которые блокируются руководствуясь разными крутящими моментами.

1. Дифференциал с вязкостной муфтой.
2. Дисковый дифференциал.
3. Электронную блокировку дифференциала.

Блокировка происходит в зависимости от того, насколько разнятся меж собою крутящие моменты червячный дифференциал.

Примитивный дисковый дифференциал состоит из: симметричного дифференциала, в котором есть один или несколько пакетов фрикционных дисков. Одна часть фрикционных дисков связана с корпусом дифференциала, вторая – с полуосью.

Работает дисковый дифференциал повышенного трения по принципу силы трения, которая возникает в результате разности скоростей, с которой вращаются полуоси.

Во время движения по прямой полуоси и корпус дифференциала вращаются с одинаковой скоростью, следовательно, вращение фрикционного пакета происходит как единое целое. В случае увеличения частоты вращения какой-то из полуосей, часть дисков которая ей соответствует начинает быстрее вращаться. Это действие сопровождается возникновением силы трения, которая не позволяет увеличить частоту вращения. На свободном (не нагруженном) колесе крутящий момент возрастает, благодаря чему достигается частичное блокирование дифференциала.

Степень, до которой сжимаются фрикционные диски может быть как фиксированной (реализуется при помощи пружин постоянной жесткости) так и переменной (за счет применения гидропривода или электронного управления).

На спортивных автомобилях используется преимущественно дисковый дифференциал LSD, или в качестве межосевого дифференциала в автомобилях SUV-сегмента.

Схема вязкостной муфты

Вязкостную муфту еще называют вискомуфтой. Она состоит из определенного набора перфорированных дисков расположенных близко друг от друга. Одна их часть жестко соединена с корпусом дифференциала, вторая – с приводным валом. Расположены диски в герметичном корпусе, который наполнен очень вязкой силиконовой жидкостью.

Схема вязкостной муфты

Во время вращения приводного вала и корпуса дифференциала с одной скоростью, происходит вращение блока перфорированных дисков как одного целого. Когда скорости вращения меняются, определенная часть дисков, которая подчиняется тому или иному блоку начинает быстрее вращаться, перемешивая силиконовую жидкость. После жидкость отвердевает и происходит блокировка дифференциала. При этом в другом приводном валу крутящий момент увеличивается. Когда равенство восстанавливается жидкость снижает свои свойства, снимая, тем самым, блокировку с муфты.

Из-за довольно больших размеров вискомуфта используется преимущественно, для блокировки межосевого дифференциала. Кроме того, вязкостная муфта может быть установлена самостоятельно, вместо межосевого дифференциала, в полноприводной системе с автоматическим подключением.

Особенность конструкции вискомуфты наделяют ее инерционностью, она может порядком нагреваться, а во время торможения может конфликтовать с ABS, именно поэтому на сегодняшний день автомобили практически не оборудуются ею.

Электронный дифференциал или электронная блокировка дифференциала - функция антипробуксовочной системы. Она реализована посредством автоматического подтормаживания того колеса, которое пробуксовывает, сопровождаемого повышением на него силы тяги. Как результат - колесо с нормальным сцеплением получает лучший крутящий момент.

Самоблокирующийся дифференциал червячного типа способен обеспечить автоматическое блокирование в зависимости от того, на сколько разнятся крутящие моменты на корпусе и полуоси. В случае проскальзывания колеса, с последующим падением крутящего момента, происходит блокировка червячного дифференциала, после чего крутящий момент перераспределяется на свободные колеса. В этом случае блокировка частичная, а ее степень в зависит от того насколько упадет крутящий момент.

Схема дифференциала Torsen

Диференциалы Torsen - наиболее известными червячными образцами. Название - аббревиатура от двух англ. слов Torque Sensing - что в переводе означает - чувствительность к крутящему моменту.

Конструктивно дифференциал представляет собой планетарный редуктор, в котором есть несколько червячных шестерен, одни - ведомые (полуосевые) другие - ведущие (сателлиты). Расположение сателлитов чаще всего параллельно полуосям (Quaife, Torsen Т-2), иногда встречаются варианты с перпендикулярным расположением (Torsen Т-1).

Характерной особенностью червячной шестерни считается способность вращать другие шестерни, оставаясь при этом недвижимой. При этом червячная шестерня расклинивается. Это свойство применяется для частичной блокировки червячного дифференциала. Применение червячных самоблокирующихся дифференциалов весьма широкое, они могут выполнять роль как межосевых так и межколесных дифференциалов.

При движении автомобиля крутящий момент от передается и затем, через главную передачу и дифференциал, на ведущие колеса. позволяет увеличивать или уменьшать крутящий момент передаваемый и одновременно уменьшать и соответственно увеличивать скорость вращения колес. Передаточное число в главной передаче подбирается таким образом, что максимальный крутящий момент и частота вращения ведущих колес находятся в наиболее оптимальных значениях для конкретного автомобиля. Кроме того, главная передача очень часто является объектом тюнинга автомобиля.

Устройство главной передачи

По сути, главная передача - это не что иное, как шестеренчатый понижающий редуктор, в котором ведущая шестерня связана с вторичным валом КПП, а ведомая – с колесами автомобиля. По типу зубчатого соединения главные передачи различаются на следующие разновидности:

• цилиндрическая – в большинстве случаев применяется на автомобилях с поперечным расположением и коробки передач и передним приводом;
• коническая – применяется очень редко, так как имеет большие габариты и высокий уровень шума;
• гипоидная – наиболее востребованная разновидность главной передачи, которая применяется на большинстве автомобилей с классическим задним приводом. Гипоидная передача отличается малыми размерами и низким уровнем шума;
• червячная – практически не применяется на автомобилях по причине трудоемкости изготовления и высокой стоимости.

Также стоит отметить, что автомобили с передним и задним приводом имеют различное расположение главной передачи. В переднеприводных автомобилях с поперечным расположением КПП и силового агрегата, цилиндрическая главная передача располагается непосредственно в картере КПП .

В автомобилях с классическим задним приводом главная передача установлена в корпусе ведущего моста и соединена с коробкой передач посредством . В функционал гипоидной передачи заднеприводного автомобиля также входит и разворот вращения на 90 градусов за счет конических шестерен. Несмотря на различные типы и расположение, предназначение главной передачи остается неизменным.

Дифференциал автомобиля

Дифференциал автомобиля чаще всего совмещен с главной передачей и располагается соответственно в картере коробки передач или в корпусе заднего моста. Однако дифференциал может быть установлен и между ведущими осями полноприводного автомобиля. Дифференциал представляет собой и делится на следующие разновидности:

• конический – в большинстве случаев устанавливается совместно с главной передачей между колесами одной приводной оси;
• цилиндрический – наиболее часто применяется для развязки ведущих осей полноприводных автомобилей;
• червячный – является универсальным и устанавливается как между колесами, так и между ведущими осями.

Основное предназначение дифференциала заключается в распределении крутящего момента между колесами автомобиля и изменения их частоты вращении относительно друг друга. Так, например поворот автомобиля без дифференциала был бы попросту невозможен , так как при повороте внешнее колесо обязательно должно вращаться с большей частотой, нежели внутреннее.

Дифференциалы существуют симметричные и несимметричные. Симметричный дифференциал передает равный крутящий момент на оба колеса и устанавливается чаще всего совместно с главной передачей. Несимметричный дифференциал позволяет передать крутящий момент в различных пропорциях и устанавливается между .

Дифференциал состоит из корпуса, шестерен сателлитов и полуосевых шестерен. Корпус обычно совмещен с ведомой шестерней главной передачи. Шестерни сателлиты играют роль планетарного редуктора и соединяют полуосевые шестерни с корпусом дифференциала. Полуосевые (солнечные) шестерни соединены с ведущими колесами посредством полуосей на шлицевых соединениях.

При всех плюсах у простейшего дифференциала существует и недостаток . Дело в том, что частота вращения может быть распределена на колеса не только в соотношении, например 50/50, 40/60 или 35/65, но и 0/100. То есть, на одно колесо автомобиля может быть передан абсолютно весь крутящий момент, в то время как второе колесо будет абсолютно статично. Такое случается в том случае если автомобиль застрял в грязи или на льду.

Однако современные дифференциалы более совершенны и практически лишены данного недостатка. Многие дифференциалы имеют жесткую автоматическую или ручную блокировку. Кроме того современные легковые полноприводные автомобили снабжаются системой курсовой устойчивости, которая основана на оптимальном распределении крутящего момента между осями и отдельными колесами в зависимости от траектории движения.

При движении автомобиля в поворотах колёса ведущей оси проходят путь разной длины. Чтобы шины не проскальзывали, колёса должны вращаться с разными скоростями. Рассмотрим: что такое дифференциал и принцип его работы, какие бывают разновидности.

Что это такое?

Произведение силы тяги на радиус колеса даёт тот крутящий момент, который дифференциал должен передать на колёса. Когда сцепление с дорогой слабое или одно колесо вывешено, крутящий момент и сила тяги на колесе очень малы или отсутствуют, автомобиль не сможет продолжить движение. Это особенность дифференциала с коническими шестернями, получившего широкое распространение. Этот вид дифференциала называют симметричным, так как он поровну распределяет крутящий момент между колёсами.

Это происходит потому, что сателлит работает как равноплечий рычаг и передаёт только равные усилия к шестерням полуоси, а соответственно и к ведущим колёсам. Если одно из колёс имеет малое сцепление с дорожным покрытием, то эффективный крутящий момент на нём небольшой, соответственно симметричный дифференциал подведёт такое же усилие к другому колесу. То есть, если одно колесо буксует, сила тяги на втором равна нулю, что отрицательно сказывается на проходимости.

Для её улучшения на автомобилях применяют полную или частичную блокировку дифференциалов , степень которой оценивают коэффициентом блокировки.

Существует несколько видов дифференциалов.

Дифференциал с полной блокировкой

Пример - блокировка межосевого дифференциала на ВАЗ-2121. Приводится в действие водителем принудительно. Угловые скорости колёс здесь всегда равны, что противоречит условиям движения автомобиля по кривой, приводит к износу резины и ухудшению управляемости по твёрдому покрытию.

Вискомуфта

Принцип работы вискомуфты основан на особых свойствах специальной силиконовой жидкости: при повышении температуры ее вязкость не понижается, как, например, у масла, а повышается. Вискомуфта представляет собой цилиндр, заполненный силиконовой жидкостью. Внутри его находится пакет из перфорированных дисков, соединенных через один соответственно с ведущим и ведомым валами.

В полноприводной трансмиссии при нормальных условиях движения валы вращаются примерно с одинаковой скоростью: входной – под действием крутящего момента от основного ведущего моста, а выходной вращают колеса, с которыми он соединен. При буксовании колес основного ведущего моста входной вал вращается быстрее выходного (машина практически стоит), жидкость нагревается от трения о диски, и муфта начинает передавать больший момент на выходной вал.

Существенный недостаток вискомуфты: на срабатывание муфты требуется время, а оптимальную ее характеристику трудно подобрать. Поэтому многие производители отказываются от применения вискомуфты в пользу управляемых электроникой многодисковых сцеплений.

Торсен

Такой жесткой кинематической связью колёсам автомобиля обеспечивается возможность вращаться с разной скоростью. Силы трения, возникающие в червячном зацеплении от разности моментов на колёсах, осуществляют блокировку дифференциала. Недостаток конструкции – сложность изготовления, сборки агрегата в целом и ремонта.

Квайф

Когда одно из колёс начинает отставать, связанная с ним полуосевая шестерня начинает вращаться медленнее корпуса дифференциала и поворачивать входящий с ней в зацепление сателлит. Он передаёт движение связанному с ним сателлиту, а тот в свою очередь, на полуосевую шестерню. Так обеспечиваются разные обороты колёс в повороте.

Благодаря разности крутящих моментов на колёсах возникают силы трения, осуществляющие блокировку, что увеличивает силу тяги автомобиля, повышая его проходимость. Дифференциалы такого типа получили наибольшее распространение в тюнинге.

Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y"(x) Δх + αΔх, где α Δх - остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы - это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y"(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y"(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y 1 , а затем y = y 2 , то разность y 2 ─ y 1 называется приращением величины y.

Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y 2 ─ y 1 .

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемымdy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы - это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) - расстояние прямолинейно движущейся от начального положения (t - время пребывания в пути). Приращение Δs - это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f" (t) Δt - это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f"(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM" (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM". Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f "(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM"дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM" уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f "(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM"и QN эквивалентны; иными словами NM" уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM". Это видно на рисунке (с приближением M"к М отрезок NM"составляет все меньший процент отрезка QM").

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f "(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f "(x)Δх, или же df (x) = f "(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f "(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f "(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f "(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f "(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x 2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t 2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x 2 = t 4 .

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x 2 = t 4 . Он оказывается равен dy=4t 3 Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x 2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t 2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f "(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f "(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x 2 , то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх 2 →0, при х=0 величины Δу = Δх 2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х 2 , так что dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см 3 . Полное вычисление дало бы ΔV =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см 3 .

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x 3 , не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Здесь коэффициент A= 3x 2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x 2 Δх есть дифференциал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx или же d(x 3) = 3x 2 dx.

При этом d(x 3) / dx = 3x 2 .

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х 2 . Поэтому dy = ─ Δх/х 2 .

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f "(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f "(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

В принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной или, короче, предельной погрешностью - положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.